Two-dimensional weight function of stress intensity factors for external circumferential surface cracks in cylinders
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摘要:
环向外表面裂纹是海底管道与立管中常见的缺陷形式之一.为了准确高效地计算应力强度因子(stress intensity factors, SIFs)，提出了一种适用于任意复杂应力场中圆管环向外表面裂纹的二维权函数.通过三维有限元方法计算得到均布应力载荷下圆管厚径比T/Ri为0.02 ~ 0.2, 裂纹形状比a/c为0.2 ~ 1.0, 裂纹深度比a/T为0.1 ~ 0.8的圆管环向外表面裂纹的SIFs参考解，求得表面裂纹最深点和表面点的二维权函数.通过计算高阶应力载荷下的SIFs，将权函数法结果与有限元法结果进行对比以验证权函数的准确性，两者最大相对误差为9.5%.此外，计算了环焊缝焊接残余应力作用下环向外表面裂纹的SIFs，权函数结果与有限元结果的相对误差小于5%. 结果表明，文中所提出的二维权函数可为含有环向外表面裂纹缺陷的海底管道与立管的疲劳寿命预测奠定基础.
Abstract:External circumferential surface crack was one of the common defects in submarine pipes and risers. For the sake of accurate and efficient calculation of stress intensity factors (SIFs), a two-dimensional weight function for external circumferential surface cracks in cylinders under arbitrary complex stress fields was proposed. Three-dimensional finite element analysis was utilized to calculate the SIFs for external circumferential surface cracks in cylinders under uniform stress loading, covering the thickness-to-radius ratio T/Ri of 0.02 ~ 0.2, crack shape ratio a/c of 0.2 ~ 1.0, and crack depth ratio a/T of 0.1 ~ 0.8. The two-dimensional weight functions for the deepest and surface points of surface cracks were derived. The results of the weight function method and the finite element method were compared to verify the accuracy of the weight function by calculating the SIF under high-order stress loads. The maximum relative error of the two methods was 9.5%. Moreover, the SIFs of external circumferential surface cracks under girth-welded residual stress was calculated. The relative error between the weight function and the finite element results was less than 5%. The results showed that the developed two-dimensional weight function can provide a foundation for the fatigue life prediction of submarine pipes and risers with external circumferential surface cracks.
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0. 序言
海底管道和立管是深海油气开发装备中的关键构件. 管体长期处于恶劣的海洋环境中，在内部压力、波浪、海流和浮体运动等因素引起的交变载荷作用下，管体环焊缝附近容易出现疲劳裂纹. 圆管环向外表面裂纹是海底管道和立管最常见的裂纹形式之一，表面裂纹逐步扩展，可能会导致管体断裂，甚至会造成灾难性事故[1]. 因此，圆管环向外表面裂纹SIFs是含裂纹圆管构件疲劳寿命预测与断裂评估的重要指标，裂纹尖端SIFs的准确计算，对海底管道和立管的服役安全性保障具有重要的工程应用价值.
对于含表面裂纹的圆管构件，采用有限元方法能够求解不同形状裂纹的SIFs[2-3]. LI等人[2]通过三维有限元方法分析了远端拉伸和弯矩载荷作用下圆管环向外表面裂纹的SIFs，并以此提出了经验公式. WANG等人[3]采用J积分法计算了6种不同载荷条件下圆管环向外表面裂纹和内表面裂纹的SIFs. 有限元方法通常对每一个裂纹尺寸和载荷条件都需要单独创建模型，建模过程复杂，计算成本高. 此外，海底管道和立管环焊缝由于受应力集中和焊接残余应力的影响，焊趾附近存在复杂的高阶应力分布，导致现有的SIFs经验公式往往存在不适用的问题[4].
权函数法是求解受载裂纹体SIFs的一种高效、可靠的手段[5]. 权函数只与裂纹体的几何参数有关，而与裂纹体所受载荷无关. 裂纹体的权函数确定后，可用来求解任意载荷作用下的SIFs，所需计算仅是权函数和裂纹面应力分布乘积的积分. 针对圆管表面裂纹学者提出了不同形式的权函数. 况正等人[6]提出了用于计算圆管轴向外表面裂纹最深点和表面点SIFs的一维权函数. 龚宝明等人[7]采用有限元方法计算了圆管环向外表面裂纹最深点在不同应力分布载荷下的SIFs，并且推导了表面裂纹最深点的一维权函数. 然而，上述研究未曾涉及圆管环向外表面裂纹表面点的SIFs计算和权函数的推导，限制了权函数法在管道环向外表面裂纹扩展预报中的应用. 此外，一维权函数仅适用于应力分布沿着圆管壁厚单向变化的情况，对于管道环焊缝附近存在明显的双向变化应力场则不再适用. 针对双向应力场中的平面裂纹问题，WANG等人[8]提出了一种通用二维权函数，并将其应用到无限体和半无限体中椭圆形埋藏裂纹SIFs的求解过程中. 在此基础上，YUAN等人[9]和GU等人[10]先后提出了适用于不同形状范围的有限平板半椭圆表面裂纹二维权函数.然而，目前公开的关于圆管环向外表面裂纹的二维权函数的研究结果较少.
文中采用有限元方法计算不同圆管厚径比、裂纹形状比和裂纹深度比的圆管环向外表面裂纹的SIFs，作为参考解，推导表面裂纹最深点和表面点的二维权函数. 通过在裂纹面分别施加高阶应力分布载荷和环焊缝残余应力进行计算，与有限元结果进行对比，验证文中提出的二维权函数的有效性.
1. 二维权函数基本理论
任意形状的平面裂纹，如图1所示. 裂纹前缘任意一点P'(x', y')的SIFs K，可通过对该裂纹体的二维权函数m (x, y; P')和无裂纹体，在假想裂纹面位置的应力分布σ (x, y)的乘积沿裂纹面面积S的积分得到，即
$$ \begin{gathered} K\left( {{\text{P}}{\text{'}}} \right) = \iint {\sigma \left( {x,y} \right)} \cdot m\left( {x,y;{\text{P}{{\text{'}}}}} \right)dS \end{gathered} $$ (1) 式中：σ (x, y)为无裂纹体在假想裂纹面位置的应力；m (x, y; P')为P (x, y)点处的单位点载荷在P'点处诱导的SIFs.
平面裂纹二维权函数与加载点P (x, y)到裂纹前缘的最短距离s以及P点到P'点的距离ρ有关，即
$$ \begin{gathered} m\left( {x,y;{\text{P}{\text{'}}}} \right) = \frac{{\sqrt {2s} }}{{{\text{π} ^{3/2}}{\rho ^2}}}w\left( {x,y;{\text{P}{\text{'}}}} \right) \end{gathered} $$ (2) 式中：w (x, y; P')为反映裂纹体几何形状和边界条件的影响的几何函数.
不同表面裂纹权函数参数示意图，如图2所示.针对图2(a)中的无限体中椭圆形埋藏裂纹，WANG等人[8]提出了通用二维权函数，即
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图 2 不同表面裂纹权函数参数示意图Figure 2. Illustration of different surface cracks and parameters of weight functions. (a) embedded elliptical crack; (b) inner axial surface crack in a cylinder$$ \begin{gathered} m\left( {x,y;{\text{P}{\text{'}}}} \right) = \frac{{\sqrt {2s} }}{{{\text{π} ^{3/2}}{\rho ^2}}}\left[ {1 + M\left( {\theta ,\frac{a}{c}} \right)\left( {1 - \frac{{r(\varphi )}}{{R(\varphi )}}} \right)} \right] \end{gathered} $$ (3) 式中：θ为P'点在裂纹前缘位置的极坐标角度；a椭圆形裂纹沿局部坐标y的半轴长；c为椭圆形裂纹沿局部坐标x方向的半轴长；φ为加载点P的极坐标角度；r为加载点P的极坐标半径；R为O点与Q点之间距离；M为权函数系数.
对于图2(b)中圆管厚径比T/Ri = 0.25的圆管轴向内表面裂纹，GOOGARCHIN等人[11]提出考虑了裂纹深度比a/T的影响的二维权函数，即
$$ \begin{gathered} m\left( {x,y;{\text{P}}'} \right) = \frac{{\sqrt {2s} }}{{{\text{π} ^{3/2}}{\rho ^2}}}\left[ {1 + M\left( {\theta ,\frac{a}{c},\frac{a}{T}} \right)\left( {1 - \frac{{r\left( \varphi \right)}}{{R\left( \varphi \right)}}} \right)} \right] \end{gathered} $$ (4) 式中：T为圆管壁厚；Ri为内壁半径.
对比式(3)和式(4)可知，不同形状裂纹体二维权函数的推导，本质上是权函数系数M的求解，而权函数系数M是裂纹前缘上P'点位置与裂纹体形状参数的函数. 圆管环向外表面裂纹权函数参数，如图3所示. 对于圆管环向外表面裂纹，考虑圆管厚径比T/Ri影响，文中提出的二维权函数为
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图 3 圆管环向外表面裂纹权函数参数Figure 3. Illustration of weight function parameters for an external circumferential surface crack in a cylinder. (a) cross-section view; (b) external circumferential surface cracked cylinder$$ \begin{gathered} m(x,y;{\text{P}}') = \frac{{\sqrt {2s} }}{{{\text{π} ^{3/2}}{\rho ^2}}}\left[ {1 + M\left( {\frac{\xi }{h},\frac{a}{c},\frac{a}{T},\frac{T}{{{R_{\text{i}}}}}} \right)\left( {1 - \frac{{r(\varphi )}}{{R(\varphi )}}} \right)} \right] \end{gathered} $$ (5) 式中：$\xi/h $为P'点在裂纹前缘的归一化坐标；a/c为裂纹形状比；a/T为裂纹深度比；T/Ri为圆管厚径比.
P'点的归一化坐标ξ/h在0.0(最深点A)到1.0(表面点B)之间变化. 求解未知权函数系数M时，需要已知的载荷下的SIFs作为参考解，可通过自行创建含裂纹圆管有限元模型计算得到.
2. 计算结果与分析
2.1 圆管环向外表面裂纹有限元分析
采用有限元软件ANSYS创建了圆管环向外表面裂纹有限元模型，如图4所示. 裂纹形状比a/c = 0.2，0.4，0.6，0.8和1.0、裂纹深度比a/T = 0.1，0.2，0.4，0.6和0.8和圆管厚径比T/Ri = 0.02，0.05，0.1和0.2. 含环向外表面裂纹的圆管三维有限元模型共100个. 采用对称边界条件创建了1/4裂纹体模型，裂纹面上的应力分布载荷通过面压力的形式进行加载. 材料模型设定为线弹性体，杨氏模量为206 GPa，泊松比为0.3. 有限元模型采用SOLID186高阶体单元进行网格划分，裂纹前缘采用1/4节点奇异单元进行细化处理. 采用位移外插法计算各模型裂纹最深点A ($\xi/h $ = 0.0)和表面点B ($\xi/h $ = 1.0)处的SIFs. 通过裂纹前缘最小网格尺寸的收敛性验证，确定了当最小网格尺寸为1/50a时，SIFs计算结果可达到收敛.
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图 4 圆管环向外表面裂纹有限元模型Figure 4. Finite element model for an external circumferential surface crack in a cylinder. (a) 1/4 symmetric model; (b) local enlargement of Fig.4(a)为了验证有限元模型计算结果的准确性，采用SHOHEIB等人[12]的SIFs结果作为参照，在裂纹面施加均布应力载荷，求得的SIFs K作无量纲化处理，边界修正因子为
$$ F = \frac{K}{{{\sigma _0}\sqrt {\dfrac{{\text{π} a}}{Q}} }} $$ (6) 式中：σ0为名义应力；Q为第二类椭圆积分近似解.
圆管厚径比为0.1的边界修正因子有限元结果，如表1所示. 圆管厚径比为0.2的边界修正因子有限元结果，如表2所示. 所有最深点A和表面点B处的计算结果，相对误差均在7%以内，表明圆管环向外表面裂纹的有限元建模方法是可行的. 与参考文献[12]相比，文中扩大了裂纹形状比a/c、裂纹深度比a/T和圆管厚径比T/Ri的形状适用范围，认为所创建的表面裂纹模型具有与已验证结果同等的计算精度，为文中二维权函数的求解和验证提供参考解.
表 1 厚径比为0.1的边界修正因子有限元结果Table 1. Boundary correction factors calculated by finite element models for T/Ri= 0.1裂纹形状比
a/c裂纹深度比
a/T最深点A (ξ/h = 0.0) 表面点B (ξ/h = 1.0) 边界修正因子
有限元结果
FFEM边界修正因子
参考解
Fref误差
δ(%)边界修正因子
有限元结果
FFEM边界修正因子
参考解
Fref误差
δ(%)0.5 0.2 1.092 1.094 −0.18 0.866 0.876 −1.14 0.5 0.4 1.166 1.173 −0.60 0.947 0.965 −1.87 0.5 0.6 1.258 1.273 −1.18 1.081 1.120 −3.48 0.5 0.8 1.315 1.342 −2.01 1.248 1.309 −4.66 1.0 0.2 1.044 1.039 0.48 1.104 1.174 −5.96 1.0 0.4 1.069 1.061 0.75 1.158 1.229 −5.78 1.0 0.6 1.095 1.083 1.11 1.233 1.320 −6.59 1.0 0.8 1.112 1.091 1.92 1.323 1.432 −4.12 参考文献[12] 参考文献[12] 表 2 厚径比为0.2的边界修正因子有限元结果Table 2. Boundary correction factors calculated by finite element models for T/Ri=0.2裂纹形状比
a/c裂纹深度比
a/T最深点A (ξ/h = 0.0) 表面点B (ξ/h = 1.0) 边界修正因子
有限元结果
FFEM边界修正因子
参考解
Fref误差
δ(%)边界修正因子
有限元结果
FFEM边界修正因子
参考解
Fref误差
δ(%)0.5 0.2 1.091 1.096 − 0.46 0.866 0.877 − 1.25 0.5 0.4 1.162 1.177 − 1.27 0.941 0.962 − 2.18 0.5 0.6 1.253 1.284 − 2.41 1.065 1.108 − 3.88 0.5 0.8 1.324 1.372 − 3.50 1.226 1.282 − 4.37 1.0 0.2 1.044 1.038 0.58 1.128 1.174 − 3.92 1.0 0.4 1.070 1.056 1.33 1.163 1.226 − 5.14 1.0 0.6 1.099 1.077 2.04 1.241 1.314 − 5.56 1.0 0.8 1.120 1.083 3.42 1.342 1.421 − 5.56 参考文献[12] 参考文献[12] 2.2 权函数系数的求解
以均布应力$ \sigma (x,y{\text{)}} = {\sigma _0} $条件下最深点A和表面点B的SIFs有限元结果作为参考解Kref，将所提出的二维权函数表达式(5)带入式(1)可得
$$ \left\{\begin{array}{l} M\left(\dfrac{\xi}{h}, \dfrac{a}{c}, \dfrac{a}{T}, \dfrac{T}{R_{\mathrm{i}}}\right)=\dfrac{K_{\mathrm{ref}}\left(\mathrm{P}{\text{'}}\right)-I_1}{I_2} \\ I_1=\displaystyle\iint \sigma_0 \dfrac{\sqrt{2 s}}{\pi^{3 / 2} \rho^2} \mathrm{~d} S\\ I_2=\displaystyle\iint \sigma_0 \dfrac{\sqrt{2 s}}{\pi^{3 / 2} \rho^2}\left(1-\dfrac{r(\varphi)}{R(\varphi)}\right) \mathrm{d} S \end{array}\right. $$ (7) 为了求解不同裂纹形状对应的权函数系数M，采用Matlab软件编写了裂纹面区域网格划分与数值积分程序. 数值积分网格，如图5所示. 对裂纹面区域采用四边形网格进行分割，采用Gauss-Legendre方法对式（7）中的I1和I2进行数值积分. 对裂纹形状比a/c为0.2~1.0，裂纹深度比a/T 为0.1~0.8，圆管厚径比T/Ri为0.02~0.20的环向外表面裂纹最深点A(ξ/h=0.0)和表面点B(ξ/h=1.0)对应的权函数系数M进行了求解.
系数M的计算数据进行了多项式拟合，拟合优度R2均大于0.99 ，得到参数化公式为
$$ \left\{\begin{array}{l} M\left(\dfrac{\xi}{h}=0.0, \dfrac{a}{c}, \dfrac{a}{T}, \dfrac{T}{R_{\mathrm{i}}}\right)=A_1\left(\dfrac{a}{T}\right)^4+A_2\left(\dfrac{a}{T}\right)^3+A_3\left(\dfrac{a}{T}\right)^2+A_4\left(\dfrac{a}{T}\right)+A_5 \\ A_i=B_{i 1}\left(\dfrac{a}{c}\right)^4+B_{i 2}\left(\dfrac{a}{c}\right)^3+B_{i 3}\left(\dfrac{a}{c}\right)^2+B_{i 4}\left(\dfrac{a}{c}\right)+B_{i 5}, \quad i=1,2,3,4,5 \\ B_{i j}=C_{i j 1}\left(\dfrac{T}{R_i}\right)^3+C_{i j 2}\left(\dfrac{T}{R_i}\right)^2+C_{i j 3}\left(\dfrac{T}{R_i}\right)+C_{i j 4}, \quad i=1,2,3,4,5\; j=1,2,3,4,5 \end{array}\right. $$ (8) $$ \left\{\begin{array}{l} M\left(\dfrac{\xi}{h}=1.0, \dfrac{a}{c}, \dfrac{a}{T}, \dfrac{T}{R_i}\right)=D_1\left(\dfrac{a}{T}\right)^4+D_2\left(\dfrac{a}{T}\right)^3+D_3\left(\dfrac{a}{T}\right)^2+D_4\left(\dfrac{a}{T}\right)+D_5 \\ D_i =E_{i 1}\left(\dfrac{a}{c}\right)^4+E_{i 2}\left(\dfrac{a}{c}\right)^3+E_{i 3}\left(\dfrac{a}{c}\right)^2+E_{i 4}\left(\dfrac{a}{c}\right)+E_{i 5}, \quad i=1,2,3,4,5 \\ E_{i j} =F_{i j 1}\left(\dfrac{T}{R_i}\right)^3+F_{i j 2}\left(\dfrac{T}{R_i}\right)^2+F_{i j 3}\left(\dfrac{T}{R_i}\right)+F_{i j 4}, \quad i=1,2,3,4,5\; j=1,2,3,4,5 \end{array}\right. $$ (9) 式(8)中，矩阵分别为
$$ \begin{gathered}{\boldsymbol{C}}_{1ij}=\left[\begin{array}{*{20}{c}}-288\; 742.77 & \ \ 101\; 756.36 & \ \ 11\; 582.97 & \ \ \ 267.31 \\ \ \ \ \ 899\; 820.53 & -321\; 381.05 & \ \ 35\; 772.05 & -864.77 \\ -\ 935\; 355.06 & \ \ 338\; 958.23 & -37\; 374.60 & \ \ 932.75 \\ \ \ \ 377\; 773.99 & -138\; 725.44 & \ \ 15\; 225.90 & -378.49 \\ \ -38\; 476.36 & \ \ \ \ 14\; 688.55 & -1\; 663.16 & \ \ \ \ 34.33\end{array}\right],\ j=1,2,3,4,5;\ k=1,2,3,4\end{gathered} $$ (10) $$ \begin{gathered}{\boldsymbol{C}}_{2ij}=\left[\begin{array}{*{20}{c}}\ \ \ \ \ 972\; 212.89 & -333\; 959.93 & \ \ \ 34\; 003.81 & \ -769.37 \\ -2740\; 928.76 & \ \ 952\; 110.08 & -96\; 879.15 & \ \ 2\; 223.86 \\ \ \ \ 2658\; 015.42 & -934\; 563.44 & \ \ \ 95\; 420.40 & -2\; 224.86 \\ -1022\; 981.35 & \ \ 363\; 795.56 & -37\; 351.57 & \ \ \ \ \ 881.58 \\ \ \ \ \ 106\; 724.12 & \ -38\; 995.71 & \ \ \ \ 4\; 143.45 & \ \ \ -97.45\end{array}\right],j=1,2,3,4,5;\ k=1,2,3,4\end{gathered} $$ (11) $$ \begin{gathered}{\boldsymbol{C}}_{3ij}=\left[\begin{array}{*{20}{c}}-959\; 624.37 & \ \ 324\; 685.80 & -31\; 227.59 & \ \ \ \ \ 721.19 \\ \ \ 2545\; 366.75 & -870\; 996.13 & \ \ 84\; 431.54 & -1\; 949.23 \\ -2348\; 529.09 & \ \ \ 813\; 554.02 & -79\; 647.06 & \ \ 1\; 853.79 \\ \ \ \ \ 871\; 767.02 & -305\; 483.89 & \ \ \ 30\; 233.64 & \ -724.78 \\ \ \ -92\; 106.83 & \ \ \ \ \ 33\; 006.11 & \ -3\; 379.32 & \ \ \ \ \ \ \ 91.28\end{array}\right],j=1,2,3,4,5;\ k=1,2,3,4\end{gathered} $$ (12) $$ \begin{gathered}{\boldsymbol{C}}_{4ij}=\left[\begin{array}{*{20}{c}}\ \ 328\; 754.28 & -108\; 161.76 & \ \ \ \ \ 9\; 780.25 & -215.56 \\ -835\; 500.81 & \ \ 278\; 720.65 & -25\; 579.18 & \ \ \ 555.59 \\ \ \ 742\; 858.22 & -251\; 560.89 & \ \ \ 23\; 451.68 & -502.77 \\ -268\; 838.79 & \ \ \ \ 92\; 277.29 & \ -8\; 720.95 & \ \ 185.93 \\ \ \ \ \ 28\; 353.41 & \ \ -9\; 917.41 & \ \ \ \ \ \ \ \ 961.38 & \ -20.73\end{array}\right],j=1,2,3,4,5;\ k=1,2,3,4\end{gathered} $$ (13) $$ \begin{gathered}{\boldsymbol{C}}_{5ij}=\left[\begin{array}{*{20}{c}}-28\; 556.77 & \ \ \ \ 8\; 976.93 & \ -737.25 & \ \ \ 14.27 \\ \ \ \ \ 70\; 773.11 & -22\; 724.91 & \ \ 1\; 923.77 & -36.08 \\ \ -62\; 072.20 & \ \ 20\; 405.89 & -1\; 782.95 & \ \ 32.33 \\ \ \ \ \ \ \ 2\; 665.38 & -7\; 608.15 & \ \ \ \ \ 682.19 & -12.51 \\ \ \ -2\; 414.46 & \ \ \ \ \ \ 826.12 & \ \ \ -75.70 & \ \ \ \ 2.39\end{array}\right],j=1,2,3,4,5;\ k=1,2,3,4 \\ \end{gathered} $$ (14) 式(9)中，矩阵分别为
$$ \begin{gathered}{\boldsymbol{F}}_{1ij}=\left[\begin{array}{*{20}{c}}-2\; 128\; 682.35 & \ \ 1\; 117\; 130.84 & \ -80\; 994.46 & \ \ \ \ -17.23 \\ \ \ \ 4\; 598\; 379.63 & -2\; 622\; 857.97 & \ \ \; 193\; 752.31 & \ \ 1\; 372.65 \\ -\ 3\; 629\; 035.77 & \ \ 2\; 171\; 834.39 & -\; 161\; 867.05 & -2\; 940.13 \\ \ \ 1\; 143\; 285.52 & \ -713\; 942.49 & \ \ \ \ \ 54\; 709.45 & \ \ 1\; 941.19 \\ \ -\; 136\; 731.15 & \ \ \ \ \ \ \ 85\; 677.53 & \ \ \ \ -7\; 419.81 & \ \ -374.05\end{array}\right],j=1,2,3,4,5;\ k=1,2,3,4\end{gathered} $$ (15) $$ \begin{gathered}{\boldsymbol{F}}_{2ij}=\left[\begin{array}{*{20}{c}}-1\; 629\; 116.95 & -\; 158\; 816.59 & \ \ \ \ \ \ \ 568.18 & \ \ 1\; 532.68 \\ \ \ \ 6\; 221\; 627.44 & -\; 163\; 358.30 & \ \ 31\; 641.94 & -6\; 357.93 \\ -7\; 186\; 327.90 & \; \ \ \ 683\; 045.20 & -65\; 342.15 & \ \ 8\; 798.28 \\ \ \ \ 3\; 312\; 610.25 & -\; 507\; 621.52 & \ \ 41\; 907.33 & -4\; 775.61 \\ \ -\; 462\; 870.65 & \ \ \ \ \ 83\; 551.06 & \ -5\; 729.47 & \ \ \ \ \ 829.91\end{array}\right],j=1,2,3,4,5;\ k=1,2,3,4\end{gathered} $$ (16) $$ \begin{gathered}{\boldsymbol{F}}_{3ij}=\left[\begin{array}{*{20}{c}}\ \ \ \ 4\; 501\; 085.07 & -1\; 077\; 586.81 & \ \ \ \ \ \ 83\; 984.70 & -1\; 210.10 \\ -12\; 880\; 420.52 & \ \ 3\; 117\; 349.44 & -\; 233\; 003.82 & \ \ 4\; 421.09 \\ \ \ 12\; 829\; 414.54 & -3\; 195\; 667.57 & \; \ \ \ 234\; 514.40 & -5\; 612.10 \\ -\ 5\; 300\; 824.65 & \ \ 1\; 381\; 840.19 & -\; 100\; 742.98 & \ \ 2\; 854.32 \\ \ \ \ \ \ \ \; 716\; 125.69 & \ -\; 193\; 140.88 & \ \ \ \ \ 13\; 705.04 & \ -466.85\end{array}\right],j=1,2,3,4,5;\ k=1,2,3,4\end{gathered} $$ (17) $$ \begin{gathered}{\boldsymbol{F}}_{4ij}=\left[\begin{array}{*{20}{c}}-1\; 397\; 123.30 & \; \ \ \ \ 357\; 533.23 & -21\; 736.61 & \ -30.23 \\ \ \ \ 3\; 834\; 061.70 & -\; 976\; 627.77 & \ \ 58\; 103.87 & -248.32 \\ -3\; 741\; 415.32 & \ \ \ \; 967\; 250.91 & -58\; 020.14 & \ \ 629.08 \\ \ \ \ 1\; 535\; 576.35 & -\; 411\; 022.16 & \ \ 25\; 511.48 & -435.27 \\ \ -\; 209\; 089.87 & \ \ \ \ \ \ 57\; 913.89 & \ -3\; 676.21 & \ \ \ \ 90.34\end{array}\right],j=1,2,3,4,5;\ k=1,2,3,4\end{gathered} $$ (18) $$ \begin{gathered}{\boldsymbol{F}}_{5ij}=\left[\begin{array}{*{20}{c}}\ \ \ \ \ 68\; 816.32 & -16\; 650.33 & \ \ \ \ \ 694.10 & \ \ 32.88 \\ -\; 191\; 991.96 & \ \ 45\; 790.06 & -1\; 839.22 & -73.09 \\ \; \ \ \ 191\; 700.61 & -46\; 488.81 & \ \ 1\; 945.50 & \ \ 55.81 \\ \ -79\; 715.02 & \ \ 20\; 214.64 & \ -924.00 & -20.31 \\ \ \ \ \ \ 10\; 334.03 & \ -2\; 731.24 & \ \ \ \ \ 127.87 & \ \ \ \ 5.59\end{array}\right],j=1,2,3,4,5;\ k=1,2,3,4 \\ \end{gathered} $$ (19) 2.3 权函数有效性验证
2.3.1 沿壁厚变化应力分布
图6 ~ 图9分别为圆管厚径比T/Ri = 0.02和T/Ri = 0.2的环向外表面裂纹最深点A(ξ/h = 0.0)和表面点B(ξ/h = 1.0)的权函数结果与有限元结果对比. 在裂纹面施加的沿壁厚方向变化的1次、2次和3次应力分布载荷为
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图 6 厚径比为0.02的最深点权函数结果与有限元结果对比Figure 6. Comparison between the results of deepest point calculated by weight function and finite element for T/Ri = 0.02. (a) a/T = 0.1; (b) a/T = 0.2; (c) a/T = 0.4; (d) a/T = 0.6; (e) a/T = 0.8![]()
图 9 厚径比为0.2的表面点权函数结果与有限元结果对比Figure 9. Comparison between the results of surface point calculated by weight function and finite element for T/Ri = 0.2. (a) a/T = 0.1; (b) a/T = 0.2; (c) a/T = 0.4; (d) a/T = 0.6; (e) a/T = 0.8$$ \sigma (x,y) = {\sigma }_{0}{\left(1-\frac{y}{a}\right)}^{n}\text{，}n = 1,2,3 $$ (20) 将计算的SIFs经无量纲化处理后得到边界修正因子F. 与有限元结果相比，权函数结果在最深点和表面点的最大相对误差分别为9.5%和7.8%.
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图 7 厚径比为0.02的表面点权函数结果与有限元结果对比Figure 7. Comparison between the results of surface point calculated by weight function and finite element for T/Ri = 0.02. (a) a/T = 0.1; (b) a/T = 0.2; (c) a/T = 0.4; (d) a/T = 0.6; (e) a/T = 0.8![]()
图 8 厚径比为0.2的 最深点权函数结果与有限元结果对比Figure 8. Comparison between the results of deepest point calculated by weight function and finite element for T/Ri = 0.2. (a) a/T = 0.1; (b) a/T = 0.2; (c) a/T = 0.4; (d) a/T = 0.6; (e) a/T = 0.82.3.2 环焊缝残余应力分布
海底油气管道和钢悬链立管是典型的焊接构件，在制造过程中沿着环焊缝往往产生较高的焊接残余应力，加快了表面裂纹的萌生和扩展.表3 ~ 表6分别为裂纹形状比a/c = 0.25，0.5和1.0，裂纹深度比a/T = 0.2，0.4，0.6和0.8，圆管厚径比T/Ri = 0.05，0.1，共24种不同形状表面裂纹最深点和表面点处权函数与有限元计算结果的对比. 为了进一步验证所提出权函数的适用性，结合文献[13]根据英国标准协会制订的BS7910《配管减薄基准》中推荐的环焊缝残余应力分布施加到裂纹面上.
表 3 厚径比为0.05的残余应力分布下最深点权函数结果与有限元结果对比Table 3. Comparison of the results of deepest point calculated by weight function and finite element for residual stress distribution for T/Ri=0.05裂纹形状比
a/c裂纹深度比
a/T边界修正因子有限元结果
FFEM边界修正因子权函数结果
FWF误差
δ(%)0.25 0.2 1.1403 1.1371 − 0.28 0.25 0.4 1.2807 1.2814 0.05 0.25 0.6 1.3512 1.3474 − 0.28 0.25 0.8 1.2694 1.2555 − 1.10 0.50 0.2 1.0913 1.0898 − 0.14 0.50 0.4 1.1416 1.1430 0.12 0.50 0.6 1.0897 1.0887 − 0.09 0.50 0.8 0.9421 0.9267 − 1.63 1.00 0.2 1.0425 1.0423 − 0.02 1.00 0.4 1.0369 1.0391 0.21 1.00 0.6 0.8994 0.9049 0.61 1.00 0.8 0.7124 0.7230 1.49 表 6 厚径比为0.1的残余应力分布下表面点权函数结果与有限元结果对比Table 6. Comparison of the results of surface point calculated by weight function and finite element for residual stress distribution for T/Ri=0.1裂纹形状比
a/c裂纹深度比
a/T边界修正因子有限元结
FFEM边界修正因子权函数结
FWF误差
δ(%)0.25 0.2 0.6795 0.6766 − 0.43 0.25 0.4 0.7177 0.6948 − 3.19 0.25 0.6 0.7768 0.8029 3.36 0.25 0.8 0.8096 0.8165 0.85 0.50 0.2 0.8557 0.8639 0.96 0.50 0.4 0.9413 0.9543 1.38 0.50 0.6 1.0698 1.0645 − 0.50 0.50 0.8 1.2003 1.1754 − 2.07 1.00 0.2 1.0932 1.0929 − 0.03 1.00 0.4 1.1512 1.1513 0.01 1.00 0.6 1.2217 1.2236 0.16 1.00 0.8 1.2782 1.2872 0.70 环焊缝残余应力分布为
$$ \begin{split} \sigma (x,y) =\frac{{{\sigma _{{\text{res}}}}(y)}}{{\sigma_{\text{Y}}}} = 1 - 6.80\left( {\frac{{T - y}}{T}} \right) + 24.30{\left( {\frac{{T - y}}{T}} \right)^2} - 28.68{\left( {\frac{{T - y}}{T}} \right)^3} + 11.18{\left( {\frac{{T - y}}{T}} \right)^4} \end{split} $$ (21) 式中：σres为沿着壁厚方向变化的残余应力；σY为圆管材料的屈服应力.
表3 ~ 表6形状表面裂纹最深点和表面点处权函数与有限元计算结果，所有误差在5%以内，表明了权函数具有良好的计算精度.
表 4 厚径比为0.1的残余应力分布下最深点权函数结果与有限元结果对比Table 4. Comparison of the results of deepest point calculated by weight function and finite element for residual stress distribution for T/Ri=0.1裂纹形状比
a/c裂纹深度比
a/T边界修正因子有限元结果
FFEM边界修正因子权函数结果
FWF误差
δ(%)0.25 0.2 1.1358 1.1348 − 0.09 0.25 0.4 1.2654 1.2656 0.02 0.25 0.6 1.3230 1.3289 0.45 0.25 0.8 1.2547 1.2678 1.04 0.50 0.2 1.0901 1.0896 − 0.05 0.50 0.4 1.1395 1.1400 0.04 0.50 0.6 1.0878 1.0887 0.08 0.50 0.8 0.9488 0.9468 − 0.21 1.00 0.2 1.0431 1.0427 − 0.04 1.00 0.4 1.0379 1.0401 0.21 1.00 0.6 0.9022 0.9076 0.60 1.00 0.8 0.7184 0.7279 1.33 表 5 厚径比为0.05的残余应力分布下表面点权函数结果与有限元结果对比Table 5. Comparison of the results of surface point calculated by weight function and finite element for residual stress distribution for T/Ri=0.05裂纹形状比
a/c裂纹深度比
a/T边界修正因子有限元结
FFEM边界修正因子权函数结果
FWF误差
δ(%)0.25 0.2 0.7025 0.6679 − 4.93 0.25 0.4 0.7782 0.7466 − 4.06 0.25 0.6 0.9051 0.9108 0.63 0.25 0.8 1.0188 0.9971 − 2.13 0.50 0.2 0.8568 0.8532 − 0.42 0.50 0.4 0.9424 0.9221 − 2.15 0.50 0.6 1.0727 1.0331 – 3.69 0.50 0.8 1.2068 1.2082 0.12 1.00 0.2 1.0948 1.0946 − 0.02 1.00 0.4 1.1419 1.1406 − 0.11 1.00 0.6 1.2093 1.2114 0.17 1.00 0.8 1.2663 1.2809 1.15 3. 结论
(1) 文中建立的二维权函数具有更广泛的裂纹形状适用范围，裂纹形状比a/c为0.2 ~ 1.0，裂纹深度比a/T 为0.1 ~ 0.8，圆管厚径比T/Ri为0.02 ~ 0.2.
(2) 通过分别施加高阶应力分布载荷和环焊缝残余应力进行验证，结果表明权函数结果与有限元结果的最大相对误差为9.5%，满足实际工程应用需要.
(3) 提出的圆管环向外表面裂纹二维权函数可以应用于含表面裂纹缺陷的海底管道与立管的SIFs计算和疲劳裂纹扩展寿命预报.
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图 2 不同表面裂纹权函数参数示意图
Figure 2. Illustration of different surface cracks and parameters of weight functions. (a) embedded elliptical crack; (b) inner axial surface crack in a cylinder
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图 3 圆管环向外表面裂纹权函数参数
Figure 3. Illustration of weight function parameters for an external circumferential surface crack in a cylinder. (a) cross-section view; (b) external circumferential surface cracked cylinder
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图 4 圆管环向外表面裂纹有限元模型
Figure 4. Finite element model for an external circumferential surface crack in a cylinder. (a) 1/4 symmetric model; (b) local enlargement of Fig.4(a)
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图 6 厚径比为0.02的最深点权函数结果与有限元结果对比
Figure 6. Comparison between the results of deepest point calculated by weight function and finite element for T/Ri = 0.02. (a) a/T = 0.1; (b) a/T = 0.2; (c) a/T = 0.4; (d) a/T = 0.6; (e) a/T = 0.8
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图 9 厚径比为0.2的表面点权函数结果与有限元结果对比
Figure 9. Comparison between the results of surface point calculated by weight function and finite element for T/Ri = 0.2. (a) a/T = 0.1; (b) a/T = 0.2; (c) a/T = 0.4; (d) a/T = 0.6; (e) a/T = 0.8
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图 7 厚径比为0.02的表面点权函数结果与有限元结果对比
Figure 7. Comparison between the results of surface point calculated by weight function and finite element for T/Ri = 0.02. (a) a/T = 0.1; (b) a/T = 0.2; (c) a/T = 0.4; (d) a/T = 0.6; (e) a/T = 0.8
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图 8 厚径比为0.2的 最深点权函数结果与有限元结果对比
Figure 8. Comparison between the results of deepest point calculated by weight function and finite element for T/Ri = 0.2. (a) a/T = 0.1; (b) a/T = 0.2; (c) a/T = 0.4; (d) a/T = 0.6; (e) a/T = 0.8
表 1 厚径比为0.1的边界修正因子有限元结果
Table 1 Boundary correction factors calculated by finite element models for T/Ri= 0.1
裂纹形状比
a/c裂纹深度比
a/T最深点A (ξ/h = 0.0) 表面点B (ξ/h = 1.0) 边界修正因子
有限元结果
FFEM边界修正因子
参考解
Fref误差
δ(%)边界修正因子
有限元结果
FFEM边界修正因子
参考解
Fref误差
δ(%)0.5 0.2 1.092 1.094 −0.18 0.866 0.876 −1.14 0.5 0.4 1.166 1.173 −0.60 0.947 0.965 −1.87 0.5 0.6 1.258 1.273 −1.18 1.081 1.120 −3.48 0.5 0.8 1.315 1.342 −2.01 1.248 1.309 −4.66 1.0 0.2 1.044 1.039 0.48 1.104 1.174 −5.96 1.0 0.4 1.069 1.061 0.75 1.158 1.229 −5.78 1.0 0.6 1.095 1.083 1.11 1.233 1.320 −6.59 1.0 0.8 1.112 1.091 1.92 1.323 1.432 −4.12 参考文献[12] 参考文献[12] 
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表 2 厚径比为0.2的边界修正因子有限元结果
Table 2 Boundary correction factors calculated by finite element models for T/Ri=0.2
裂纹形状比
a/c裂纹深度比
a/T最深点A (ξ/h = 0.0) 表面点B (ξ/h = 1.0) 边界修正因子
有限元结果
FFEM边界修正因子
参考解
Fref误差
δ(%)边界修正因子
有限元结果
FFEM边界修正因子
参考解
Fref误差
δ(%)0.5 0.2 1.091 1.096 − 0.46 0.866 0.877 − 1.25 0.5 0.4 1.162 1.177 − 1.27 0.941 0.962 − 2.18 0.5 0.6 1.253 1.284 − 2.41 1.065 1.108 − 3.88 0.5 0.8 1.324 1.372 − 3.50 1.226 1.282 − 4.37 1.0 0.2 1.044 1.038 0.58 1.128 1.174 − 3.92 1.0 0.4 1.070 1.056 1.33 1.163 1.226 − 5.14 1.0 0.6 1.099 1.077 2.04 1.241 1.314 − 5.56 1.0 0.8 1.120 1.083 3.42 1.342 1.421 − 5.56 参考文献[12] 参考文献[12]
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表 3 厚径比为0.05的残余应力分布下最深点权函数结果与有限元结果对比
Table 3 Comparison of the results of deepest point calculated by weight function and finite element for residual stress distribution for T/Ri=0.05
裂纹形状比
a/c裂纹深度比
a/T边界修正因子有限元结果
FFEM边界修正因子权函数结果
FWF误差
δ(%)0.25 0.2 1.1403 1.1371 − 0.28 0.25 0.4 1.2807 1.2814 0.05 0.25 0.6 1.3512 1.3474 − 0.28 0.25 0.8 1.2694 1.2555 − 1.10 0.50 0.2 1.0913 1.0898 − 0.14 0.50 0.4 1.1416 1.1430 0.12 0.50 0.6 1.0897 1.0887 − 0.09 0.50 0.8 0.9421 0.9267 − 1.63 1.00 0.2 1.0425 1.0423 − 0.02 1.00 0.4 1.0369 1.0391 0.21 1.00 0.6 0.8994 0.9049 0.61 1.00 0.8 0.7124 0.7230 1.49
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表 6 厚径比为0.1的残余应力分布下表面点权函数结果与有限元结果对比
Table 6 Comparison of the results of surface point calculated by weight function and finite element for residual stress distribution for T/Ri=0.1
裂纹形状比
a/c裂纹深度比
a/T边界修正因子有限元结
FFEM边界修正因子权函数结
FWF误差
δ(%)0.25 0.2 0.6795 0.6766 − 0.43 0.25 0.4 0.7177 0.6948 − 3.19 0.25 0.6 0.7768 0.8029 3.36 0.25 0.8 0.8096 0.8165 0.85 0.50 0.2 0.8557 0.8639 0.96 0.50 0.4 0.9413 0.9543 1.38 0.50 0.6 1.0698 1.0645 − 0.50 0.50 0.8 1.2003 1.1754 − 2.07 1.00 0.2 1.0932 1.0929 − 0.03 1.00 0.4 1.1512 1.1513 0.01 1.00 0.6 1.2217 1.2236 0.16 1.00 0.8 1.2782 1.2872 0.70
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表 4 厚径比为0.1的残余应力分布下最深点权函数结果与有限元结果对比
Table 4 Comparison of the results of deepest point calculated by weight function and finite element for residual stress distribution for T/Ri=0.1
裂纹形状比
a/c裂纹深度比
a/T边界修正因子有限元结果
FFEM边界修正因子权函数结果
FWF误差
δ(%)0.25 0.2 1.1358 1.1348 − 0.09 0.25 0.4 1.2654 1.2656 0.02 0.25 0.6 1.3230 1.3289 0.45 0.25 0.8 1.2547 1.2678 1.04 0.50 0.2 1.0901 1.0896 − 0.05 0.50 0.4 1.1395 1.1400 0.04 0.50 0.6 1.0878 1.0887 0.08 0.50 0.8 0.9488 0.9468 − 0.21 1.00 0.2 1.0431 1.0427 − 0.04 1.00 0.4 1.0379 1.0401 0.21 1.00 0.6 0.9022 0.9076 0.60 1.00 0.8 0.7184 0.7279 1.33
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表 5 厚径比为0.05的残余应力分布下表面点权函数结果与有限元结果对比
Table 5 Comparison of the results of surface point calculated by weight function and finite element for residual stress distribution for T/Ri=0.05
裂纹形状比
a/c裂纹深度比
a/T边界修正因子有限元结
FFEM边界修正因子权函数结果
FWF误差
δ(%)0.25 0.2 0.7025 0.6679 − 4.93 0.25 0.4 0.7782 0.7466 − 4.06 0.25 0.6 0.9051 0.9108 0.63 0.25 0.8 1.0188 0.9971 − 2.13 0.50 0.2 0.8568 0.8532 − 0.42 0.50 0.4 0.9424 0.9221 − 2.15 0.50 0.6 1.0727 1.0331 – 3.69 0.50 0.8 1.2068 1.2082 0.12 1.00 0.2 1.0948 1.0946 − 0.02 1.00 0.4 1.1419 1.1406 − 0.11 1.00 0.6 1.2093 1.2114 0.17 1.00 0.8 1.2663 1.2809 1.15
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-
[1] NAGY N, LUKACS J. Behavior of transporting pipeline sections without and with hydrogen exposure based on full-scale tests[J]. China Welding, 2024, 33(3): 14 − 24.
[2] LI Z C, JIANG X L, HOPMAN H. External surface cracked offshore pipes reinforced with composite repair system: a numerical analysis[J]. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2022, 117: 103191. doi: 10.1016/j.tafmec.2021.103191
[3] WANG G, LI Z X, CHEN T, et al. Numerical study on fatigue behavior and strengthening of steel pipes with a surface crack[J]. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2023, 127: 104003. doi: 10.1016/j.tafmec.2023.104003
[4] 任伟, 帅健. 焊接方法对X90管道环焊接头断裂韧性的影响[J]. 焊接学报, 2024, 45(3): 32 − 42. doi: 10.12073/j.hjxb.20230406001 REN Wei, SHUAI Jian. The effect of welding method on the fracture toughness of X90 pipeline girth weld joints[J]. Transactions of the China Welding Institution, 2024, 45(3): 32 − 42. doi: 10.12073/j.hjxb.20230406001
[5] 吴学仁, 徐武. 裂纹体分析的权函数理论与应用: 回顾和展望[J]. 力学进展, 2022, 52(3): 415 − 507. doi: 10.6052/1000-0992-21-060 WU Xueren, XU Wu. Weight function theory and applications for crack analysis: a review and outlook[J]. Advances in Mechanics, 2022, 52(3): 415 − 507. doi: 10.6052/1000-0992-21-060
[6] 况正, 唐毅, 陈银强. 基于权函数法的管道环向外表面三维裂纹应力强度因子计算[J]. 压力容器, 2023, 40(3): 47 − 55. doi: 10.3969/j.issn.1001-4837.2023.03.007 KUANG Zheng, TANG Yi, CHEN Yinqiang. Stress intensity factor calculation of three-dimensional external surface circumferential cracks on pipeline by weight function method[J]. Pressure Vessel Technology, 2023, 40(3): 47 − 55. doi: 10.3969/j.issn.1001-4837.2023.03.007
[7] 龚宝明, 田润明, 刘秀国, 等. 基于单边缺口拉伸试样的环缝接头阻力曲线确定方法对比[J]. 焊接学报, 2022, 43(5): 21 − 28. doi: 10.12073/j.hjxb.20210610001 GONG Baoming, TIAN Runming, LIU Xiuguo, et al. Comparative study on determination methods of resistance curves of circular joints based on single edge notched tensile specimens[J]. Transactions of the China Welding Institution, 2022, 43(5): 21 − 28. doi: 10.12073/j.hjxb.20210610001
[8] WANG X, GLINKA G. Determination of approximate point load weight functions for embedded elliptical cracks[J]. International Journal of Fatigue, 2009, 31(11): 1816 − 1827.
[9] YUAN K L, LIU J Y. Two-dimensional weight function for the determination of stress intensity factors for semi-elliptical surface cracks in finite-thickness and finite-width plates[J]. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2022, 121: 103495. doi: 10.1016/j.tafmec.2022.103495
[10] GU M Q, GUO W L. Two-dimensional weight function of stress intensity factors for surface cracks emanating from weld toes of butt-welded plates[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2025, 314: 110723. doi: 10.1016/j.engfracmech.2024.110723
[11] GOOGARCHIN H S, GHAJAR R. Stress intensity factors calculation for surface crack in cylinders under longitudinal gradient pressure using general point load weight function[J]. Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures, 2014, 37(2): 184 − 194.
[12] SHOHEIB M M. A novel correlation models for predicting stress intensity factor of semi-elliptical crack in welded pipelines under cyclic internal pressure based on Bézier base XIGA[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2023, 206: 105052. doi: 10.1016/j.ijpvp.2023.105052
[13] WELTEVREDEN M, COULES H, HADLEY I, et al. Statistical analysis of residual stresses in austenitic pipe girth welds[J]. Science and Technology of Welding and Joining, 2023, 28(5): 381 − 387. doi: 10.1080/13621718.2023.2164962
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