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基于曲面分层的增材制造是新提出的研究热点之一. 使用空间曲面代替平面对模型进行分层，曲面分层可以从根本上消除平面分层带来的台阶效应及特征缺失的问题. 当零件表面形状含有斜面、曲面，尤其零件为包含曲面的薄壳结构时，曲面分层可以实现兼顾高效率和高精度的增材制造.
为了得到表面平整的熔敷层，需要保证相邻熔敷道中心线之间的距离即道间距一致[1-3]. 在平面路径规划中，可以沿着某一个方向平移固定的距离，从而得到一组等间距的路径，然而空间曲面受到曲率变化的影响，通过上述方法生成的路径不能保证道间距一致，相邻熔敷道之间出现明显间隙，从而无法获得良好成形效果. 特别是电弧增材熔敷道宽度较大，一般可达5 ~ 8 mm，相邻熔敷道在曲面上的间距就很大，容易造成搭接不良.
为了得到复杂空间曲面上的等距路径规划，学者提出了以下几种思路. Chakraborty等人[4]提出了一种通过平移路径上的控制点得到下一条路径的空间平行路径的规划方法. 这种路径规划方法将相邻熔敷道道间的曲面近似为平面，当熔敷道熔宽很大或曲面曲率变化剧烈时，难以保证路径规划的误差. 牛其华[5]提出了曲面“平面化”路径规划方法，曲面“平面化”路径规划方法由于曲面在z方向曲率一般不为0，所以在xOy面上的等距路径投影到空间曲面，间距会发生变化，这样规划的路径不能保证空间上是等距的.
空间曲面等距路径规划问题本质上就是如何在曲面上构造一组等距线的问题. 在计算机辅助制造CAD/CAM领域，曲面上的等距线构造同样是一个热点问题. 舒莲卿[6]提出了基于扫描线的三角网格曲面上的等距路径规划算法. 刘斌等人[7]提出了一种使用分段B样条曲线来表示源曲线，从而计算等距线的方法. 上述算法均需要考虑路径局部自相交、全局自相交以及线段插补等情况，导致算法复杂、效率较低，而且在三角网格过大的情况下同样不能保证精度.
文中提出了一种基于体素化和曲线积分思想的空间曲面等距路径规划算法. 该算法从根本避免了局部与全局自相交的问题，并对曲面曲率变化的形式、曲面模型三角网格的大小均不敏感，适用于任意形式的空间曲面，为基于曲面分层的增材制造提供了一种路径规划手段.
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文中提出的空间曲面等距路径规划算法步骤如图1所示. 首先进行模型体素化，将原来的立体光刻(stereo lithography, STL)曲面数据转化为空间中坐标已知的离散点；然后确定初始源曲线(源曲线的选择决定最后生成的路径是平行路径、随形路径或其它路径)，将源曲线穿过的体素点作为初始源点；以初始源点为中心，循环迭代，不断的向四周扩散，计算其它体素点到源曲线的测地距离(曲面上的最小距离). 根据道间距的设定，找到测地距离等于道间距的点，组成新的路径，接着将得到的路径上的离散点拟合生成最后的精细路径. 以此类推，生成所有的路径.
图 1 空间曲面等距路径规划算法流程
Figure 1. Flow chart of curved layer equidistant path planning algorithm
体素化算法决定了规划路径的精度和算法效率；是否能得到在曲面上体素点到源曲线的准确最短距离，是算法成立的基础. 将离散点拟合生成路径是路径规划算法的必要组成部分. 针对上述3个关键算法进行了具体论述.
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为了得到曲面上任意点到初始曲线的最短距离，首先需要将曲面模型体素化. 用一组空间中离散的点代替三角片来表示曲面的过程称为体素化. 相邻两点之间的距离越小，意味着积分计算的步长越小，最后得到的路径精度越高. 然而，点之间的距离越小，算法的时间和空间复杂度也随之成倍上升.
为了降低体素化算法的空间复杂度，采用逐个三角片进行体素化的方案. 如图2所示，与整体进行体素化相比，逐个三角片体素化可以有效减少需要体素化的总空间，从而在有限的内存条件下，尽可能提高体素点的密度.
图 2 逐个三角片与整体体素化对比
Figure 2. Comparison of voxelization by triangle and voxelization by whole model. (a) voxelization by triangle; (b) voxelization by whole model
对三角片进行体素化时，需要依次计算所有体素点所在立方体是否与三角片相交，计算量巨大.如图3所示，为对一个三角片进行体素化时，需要计算的体素点. 针对这个问题，该算法应用下述两个步骤筛选需要精细判断的点，以提高计算效率. 设体素点所在立方体的边长为L，首先计算点到三角片所在平面的距离，大于
$\sqrt 3 $ L，则此点一定不可能相交，如图3a所示. 计算剩下的点在三角片所在平面上的投影，若投影点落在三角片内部，则点所在的立方体一定和三角片相交；若投影点落在三角片外部且与三角形三个边的距离都大于$\sqrt 2 $ L时，则点所在的立方体一定和三角片不相交；若非上述两种情况，则需进一步精细判断. 图3b示出了一个三角片在体素化过程中需要计算的3种类型的点. 依据上述算法，分别对3种典型曲面上体素化，其效果如图4所示.
图 3 体素化三类点的过滤
Figure 3. Filtering of three types of voxel points. (a) filtering for the first time; (b) filtering for the second time
图 4 3种曲面层的体素化结果
Figure 4. Voxelization results of 3 kinds of curved layers. (a) simple curved layer; (b) cylindrical surface; (c) B-spline surface
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根据曲线积分的思想，要计算两点在曲面上的距离，可以将两点的路径分为n段，分别计算每一段的距离，当n取无穷大时，所有段距离之和就可以代表曲线积分. 因此，当体素化密度足够高时，两点在曲面上的距离可以用一系列相邻的体素点之间的距离之和代替.
由于两个相邻的体素点之间的距离很小，它们之间的曲面曲率变化也很小，所以这两点之间的曲面距离可以用平面距离代替. 如图5所示，点A和点B为曲面上两个相邻的体素点，以A点的曲面处的法向NA做切平面P，则AB两个体素点在曲面上的距离可以用向量AB在切平面P的投影长度D近似表示.
图 5 曲面上相邻两个体素点间的距离
Figure 5. Distance between two adjacent voxels
已知曲面上的一条路径S1，要求它的一条等距路径S2，则路径S2应满足路径的上各个点到路径S1的最短曲面距离相同. 然而，要计算一个点到一个路径在曲面上的最短距离，并不容易. 如图6所示，要计算路径S2上点Qn到路径S1最短距离，分别要计算点Qn到S1上所有点的测地距离，如图6a所示. 对于确定的两个点，要计算两点间的测地距离，即两点间在曲面上的最短距离，如图6b所示，要计算点Qn到点Pn在曲面上的最短距离，需要遍历在曲面上两点之间所有可能的路径. 由此可见，想通过遍历的方式求取曲面上一点到一条路径的最短距离几乎是不可能的.
图 6 曲面上的两条路径的最短距离
Figure 6. Shortest distance between two paths on curved layer. (a) distance from point to path; (b) distance between points
针对上述问题，文中提出算法的思路是从源曲线出发，设源曲线上的点到源曲线的距离为0，不断地计算周围未知距离的体素点，直到所有的体素点都被计算过. 具体步骤如下：首先筛选出下次循环要计算的点集M1，判断条件为这个点距离没有被计算过，且其相邻的点中有已知距离的点如图7所示，经过多次循环计算后，可以得到一系列连续的到源曲线距离已知的点集M2，将与点集M1直接相邻的点构成的集合称为M3，可求得M2与M3的交集，设为M4. 然后分别计算M4每一个点到源曲线的最短距离. 要计算点P的到源曲线的距离值，首先要查找其周围所有相邻的且已知距离的点P1, P2,···, Pn. 则点P到源曲线的最短距离按式(1) ~ 式(2)计算.
$${J_n} = {L_n} + {T_n}$$ (2) $${T_n}{\rm{ = }}\left| {\overrightarrow {{\boldsymbol{P}}{{\boldsymbol{P}}_n}} } \right| \cdot \sqrt {1 - \left(\overrightarrow {{\boldsymbol{P}}{{\boldsymbol{P}}_n}} \times \overrightarrow {{{\boldsymbol{N}}_{\bf{P}}}} \right)\Bigr/\left(\left| {\overrightarrow {{\boldsymbol{P}}{{\boldsymbol{P}}_n}} } \right|\times\left| {\overrightarrow {{{\boldsymbol{N}}_{\bf{P}}}} } \right|\right)} $$ (3) 式中：Jn为所有可能的路径距离；Jp为P点到源曲线的最短距离；Ln为Pn点到源曲线的最短距离；Tn为点P与点Pn在曲面上的距离.
图 7 筛选下次循环要计算距离的点
Figure 7. Filter the points to calculate the distance in the next iteration
每次循环会得到一条新的路径，但由于曲面各个位置的曲率不同，导致新的路径上的点到源曲线的距离不同. 若同一路径上的点距离的最大值与最小值之差大于体素点的边长时，需要对距离较小的点单独向外扩散一次，直到新的路径上所有点的距离基本相同.
采用数学归纳法证明上述算法的正确性. 假设通过上述算法，经过n次迭代，获得的最新路径N上的点到源曲线的距离是正确的，且基本相等. 如图8所示，在计算新的一点M到源曲线S的最短距离时，其距离有两部分组成，分别点M到曲线N上的最短距离Tm和路径N的距离Ln，因为路径N上所有点的Ln均相同，则只需证明Tm最小即可. 又因为M与路径N相邻，所以其到路径N的最短距离，只计算路径N上与点M直接相邻的点，从中选择一个最小的距离即可. 所以经过n+1次迭代计算得到点到源曲线的距离是最短距离.
图 8 归纳法验证
Figure 8. Inductive verification
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经过上述步骤，可以得到所有体素点到初始曲线的最短距离. 若已知道间距，即相邻熔敷路径之间的距离，容易得到最后的路径上的体素点. 然而，这些体素点并没有顺序，而且相邻点之间的方向是固定的，不能代表路径切向如图9所示. 如何通过这些点生成有序的，且方向正确的路径点是算法的必要步骤之一.
图 9 曲面等距路径上的体素点
Figure 9. Voxel points on equidistant path of curved layer. (a) closed loop path; (b) open loop path
具体拟合路径的算法流程如图10所示. 因为后续要多次搜索点的邻域，为了提高计算效率，建立Kd-Tree结构来存储这些体素点. 从路径中随机选择一点作为初始点P，搜索到点P距离小于r的点，并采用最小二乘法将这些点拟合成一条直线，从而得到一个平移向量V. 将初始点P沿着V移动一段距离，得到一个新的点A，按照上述步骤不断循环. 若新的点B与初始点P很近且向量PB与初始向量V方向相反，停止循环，这时得到一条闭环路径；若到新的点B小于r的区域范围内找不到其它点，停止循环，得到了半条开环路径，这时需要对初始向量V取反，重新搜索，从而得到完整的开环路径.
图 10 拟合路径算法流程图
Figure 10. Flow chart of fitting path algorithm
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采用3种典型曲面对算法的适应性进行验证. 所选择的曲面模型如图11所示，模型1为包含内外边界的两组垂直的三角片组成的简单曲面，用来与平移扫描线法进行对比；模型2为一个已知半径的圆柱，用来验证算法的精度；模型3为任意曲面，用来验证算法的普适性. 3种典型曲面模型尺寸分别为150 mm × 50 mm × 50 mm，120 mm × 35 mm × 15 mm，60 mm × 50 mm × 40 mm，体素化精度均为0.1 mm.
图 11 3种典型的曲面
Figure 11. 3 kinds of curved layers. (a) simple curved layer; (b) cylindrical layer; (c) B-spline layer
如图12所示，在由简单曲面上分别采用文中提出的等距路径规划算法和扫描线算法进行了等距路径规划，其中外侧曲线为初始源曲线，内侧曲线为偏置结果，可以看出两个路径基本重合. 由于扫描线算法使用了直线插补，当三角片较大时，直线插补的误差会随之提高，相比之下，体素法表现出更好的精度效果.
图 12 文中算法与扫描线算法对比效果图
Figure 12. Comparison with method in this paper and scanning line method
曲面2为半径50 mm的圆柱，容易求其圆柱方程. 对比文中提出的等距路径规划算法与通过方程计算的真实等距路径. 其中初始源曲线、等距路径规划算法得到的路径及通过方程计算得到的路径，如图13所示. 等距线之间的距离为10 mm. 可以看出，两种方法得到的路径基本重合，再一次验证了算法的精度.
图 13 两种方法得到的路径对比
Figure 13. Comparison with path obtained by the two methods
为了验证算法的适用性，选择了一个曲率任意变化的B样条空间曲面. 如图14所示，其中中间的曲线为初始源曲线，两侧的线为体素算法得到的等距路径，路径间距为10 mm.
图 14 B样条曲面上的规划效果
Figure 14. Planning effect on B-spline surface
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采用外表面直径为160 mm的圆筒作为熔化极气体保护焊(gas metal arc welding,GMAW)电弧曲面分层增材验证试验底板，在其上面等距熔敷一曲面层，来验证文中提出算法的可行性，如图15所示.
图 15 堆敷曲面层三维模型
Figure 15. 3D model of deposition surface layer
GMAW电弧增材制造系统采用Motoman HP20D六轴机器人、熔敷电源为Panasonic YD-500FR. 熔敷电流、电压分别为130 A，22 V，熔敷速度为3.3 mm/s. 采用上述熔敷参数得到的熔敷道宽度为6.4 mm，道间搭接系数为0.738，所以熔敷道间距按4.7 mm规划.
采用文中提出的空间曲面路径规划算法和传统的平行路径规划算法对曲面层进行了路径规划及实际熔敷. 路径规划效果如图16所示，图16a和图16b是采用空间曲面等距路径规划算法，图16c是采用传统的平行路径. 其中，图16a初始路径为中心熔敷道，图16b初始路径为边界熔敷道. 应用上述3种路径依次进行了实际熔敷，得到的熔敷层如图17所示. 采用两种空间曲面等距路径得到的熔敷层较为平整，道间搭接良好，而采用传统的平面层平行路径得到的熔敷层道间搭接不良、成形效果差.
图 16 路径规划效果
Figure 16. Path planning results. (a) equidistant path 1; (b) equidistant path 2; (c) traditional parallel path
图 17 实际熔敷效果
Figure 17. Actual deposition results. (a) path 1 front image; (b) path 1 side image; (c) path 2 front image; (d) path 2 side image; (e) parallel path front image; (f) parallel path side image
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(1) 提出了一种基于体素化和曲线积分思想的空间曲面等距路径规划算法，并给出了算法具体流程，可用于曲面分层增材制造. 计算了体素点到源曲线的测地距离，即最短距离的计算方法，并使用数学归纳法进行了证明.
(2) 选取3种典型曲面进行空间曲面等距路径规划，并在圆筒试件上进行曲面分层GMAW电弧增材验证试验. 规划和试验结果表明，所提出的算法精度高、普适性强.
Research on space equidistant path planning algorithm of complex curved surface for arc additive manufacturing
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摘要: 基于曲面分层的增材制造是目前研究热点之一. 相比于平面路径规划，在曲率任意变化的复杂空间曲面上进行路径规划算法研究较少，尤其是等距路径规划算法. 提出了一种基于体素化和曲线积分思想的空间曲面等距路径规划算法，算法主要包括体素化模型、计算体素点到源曲线的测地距离、生成增材路径等步骤. 该算法精度可控，其精度主要由模型体素化密度决定；与扫描线法相比，从根本上避免了平移路径时由于局部和全局自相交生成的无效环，提高了计算效率. 最后，选取3种典型曲面，分别为由平面组成的简单曲面、圆柱曲面、B样条曲面，进行空间曲面等距路径规划，已验证算法的适用性，并在圆筒试件上进行曲面分层GMAW电弧增材验证试验. 结果表明，该算法可以满足电弧增材制造的精度要求.Abstract: The additive manufacturing based on curved layer is one of the hot spots in current research. Compared with plane path planning, the research of path planning algorithm on complex space surface with arbitrary curvature change is less, especially the equidistant path planning algorithm. In this paper, a path planning algorithm based on voxelization and curve integration is proposed. The precision of the algorithm is controlled and mainly depends on the voxelization density of the model. The algorithm mainly includes voxelization model, calculating the shortest distance from voxel point to source curve, generating additive path. Compared with the scanline method, the algorithm avoids the invalid loop generated by local and global self intersection when translating the path, and improves the computational efficiency. Finally, three typical curved surfaces are selected for curved surface equidistant path planning, including sample curved surface, cylindrical surface and B-spline surface, to prove the applicability of the algorithm. The verification test of curved surface layered GMAW arc additive is carried out on the cylinder specimen. Planning and experimental results show that the proposed algorithm has enough accuracy for GMAW arc additive.
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Key words:
- additive manufacturing /
- curved layer /
- equidistant path planning /
- voxelization
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图 1 空间曲面等距路径规划算法流程
Figure 1. Flow chart of curved layer equidistant path planning algorithm
图 2 逐个三角片与整体体素化对比
Figure 2. Comparison of voxelization by triangle and voxelization by whole model. (a) voxelization by triangle; (b) voxelization by whole model
图 3 体素化三类点的过滤
Figure 3. Filtering of three types of voxel points. (a) filtering for the first time; (b) filtering for the second time
图 4 3种曲面层的体素化结果
Figure 4. Voxelization results of 3 kinds of curved layers. (a) simple curved layer; (b) cylindrical surface; (c) B-spline surface
图 6 曲面上的两条路径的最短距离
Figure 6. Shortest distance between two paths on curved layer. (a) distance from point to path; (b) distance between points
图 7 筛选下次循环要计算距离的点
Figure 7. Filter the points to calculate the distance in the next iteration
图 9 曲面等距路径上的体素点
Figure 9. Voxel points on equidistant path of curved layer. (a) closed loop path; (b) open loop path
图 11 3种典型的曲面
Figure 11. 3 kinds of curved layers. (a) simple curved layer; (b) cylindrical layer; (c) B-spline layer
图 12 文中算法与扫描线算法对比效果图
Figure 12. Comparison with method in this paper and scanning line method
图 16 路径规划效果
Figure 16. Path planning results. (a) equidistant path 1; (b) equidistant path 2; (c) traditional parallel path
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