Reliability prediction and design optimization of BGA solder joint based on multi-fidelity surrogate model
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摘要:
焊点可靠性预测研究多采用有限元仿真与单一精度近似模型相结合的模式，存在仿真时间长、效率低、准确性差等问题，为此，提出了一种基于变可信度近似模型的球栅阵列(ball grid array，BGA)焊点可靠性预测与优化方法.首先, 对不同网格细化方案进行收敛性验证，分别设计高/低精度样本点进行有限元仿真；其次，基于Co-Kriging模型融合高/低精度仿真数据进行焊点可靠性预测；最后，将预测结果与单一精度近似模型进行对比分析，并采用遗传算法优化模型获得对应结构参数.结果表明，在更少的仿真成本下，变可信度模型的预测效果更好，在同等预测精度下，变可信度模型高精度样本点数量仅为单一精度模型的1/4，相比高精度神经网络预测模型，在寻优过程中收敛更快.
Abstract:At present, the reliability prediction of solder joints is mostly based on the combination of finite element simulation and single precision surrogate model, which has some problems such as long simulation time, low efficiency and poor accuracy. Therefore, a reliability prediction method for BGA (ball grid array) solder joints based on multi-fidelity model is proposed. Firstly, the convergence of different meshing schemes was verified, and then the high and low precision sample points were designed respectively for finite element analysis (FEA). Secondly, the reliability of solder joints was predicted based on the Co-Kriging model based on multi fidelity FEA data. Finally, the prediction results were compared with the single precision surrogate model, Under the same cost constraints, the multi-fidelity model demonstrates significantly higher prediction accuracy. and NSGA(nondominated sorting genetic algorithm) was used to optimize the model to obtain the corresponding process parameters. The results show that with less simulation cost, the prediction result of multi-fidelity model is better. Under the same prediction accuracy, the number of high-precision sample points of the variable reliability model is only 1/4 of that of the single precision model. At the same time, compared with the neural network prediction model, it converges faster in the optimization process. This paper provides some reference for the research of reliability prediction of solder joint with multi-fidelity model.
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Keywords:
- solder joint reliability /
- life prediction /
- multi-fidelity model /
- NSGA
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0. 序言
电子产品微型化、多功能、高性能的发展趋势，使得高密度、高精度电子封装工艺技术成为学术界和工业界关注的热点，焊点是高密度电子封装中失效率非常高的部位之一，单个焊点失效可能会造成整个封装结构的更换[1]，消耗大量时间和经济成本，因此，焊点的可靠性研究对于保障雷达等特种装备电子产品的性能具有十分重要的意义.
引起焊点在服役环境中失效的因素很多，其中最主要的是热疲劳失效和机械疲劳失效[2]，通常构成电子元器件的材料具有不同的热膨胀系数，使其在服役过程中受芯片、电池发热所产生的温度循环影响，导致板间出现周期性应力变化，从而使焊点出现疲劳破坏，如裂纹、断裂等失效现象，这将严重影响微波组件的性能.有学者对焊点可靠性分析方法进行了大量研究，然而多数集中在基于有限元仿真或物理试验方法上. 盛重等人[1]通过研究ANSYS仿真和Shine and Fox经验公式，提出了在温度循环载荷下材料的焊点疲劳寿命计算方法；孙磊等人[3]通过ANSYS模拟热循环环境，并结合田口方法探讨了封装结构和工艺参数对焊点的可靠性影响.
通过仿真与经验公式实现焊点可靠性分析的方法存在效率低、成本高等问题，且网格划分的差异性还易导致收敛差、求解难，严重影响焊点结构和工艺的优化设计，为此，构建数据驱动的近似模型以实现焊点可靠性预测逐渐成为领域研究的共识. 黄春跃等人[4]通过计算焊点最大残余应力，获得了数据集并建立带动量项神经网络模型实现对应力值的预测；高超等人[5]采用响应曲面法建立了焊点弯振耦合应力与焊点结构参数的回归方程，结合粒子群算法对焊点结构参数进行优化，除以上模型，径向基函数、支持向量机等模型也常用于可靠性预测领域.然而，传统近似模型构建多属于单一精度模型，为保证预测较高的准确性，需要大量高精度仿真数据进行拟合，而对电子封装体的高精度仿真通常需要长达几小时甚至十几小时，具有耗时长、效率低、成本高等缺点，为此，大量学者开始关注将多可信度仿真分析数据进行融合，实现不同精度样本下的变可信度近似模型构建，以平衡模型预测性能和建模成本之间的矛盾[6].
变可信度近似模型技术通常采用大量低精度样本点拟合趋势，再利用相关函数引入少量高精度样本点进行修正，从而提升模型整体预测效果，实现对目标的准确、高效预测.当前，变可信度近似模型技术已在复杂装备优化设计中展现出了巨大的潜力[7-8]，如Han等人[9]将变可信度模型应用于翼型和工业运输机结构的原始数据预测，证明了变可信度模型优于基于其他单一精度模型的预测效果；Hu等人[10]将一种基于自适应采样方法的层次Kriging应用于飞机气动系数建模，证明了相同成本下变可信度模型能够提供更精确的模型.当前，焊点可靠性预测领域缺乏有效融合高/低精度分析模型数据进行预测与优化的研究，在变可信度近似模型应用中，高/低精度数据的划分方式和样本点的嵌套关系对模型的预测精度均有影响[11]. 嵌套样本集是指高精度样本为低精度样本点的子集，非嵌套则是高/低精度样本无关.现有一些研究也提出了各种数据精度划分方式，如是否简化数学模型[12-13]、网格划分的粗细[14-16]、物理试验还是仿真[17]等.文中对焊点可靠性预测分析的高/低精度数据划分方式和样本点的设计方法，进行深入探讨，首先，采用拉丁超立方采样方法，分别设计嵌套和非嵌套的两组试验设计样本集；其次，利用ANSYS进行不同网格划分方式下的可靠性分析；最后，建立变可信度近似模型，进行焊点可靠性预测与焊点结构优化设计.通过不同仿真试验进行对比分析，为多可信度仿真数据驱动下的变可信度近似模型，在焊点可靠性预测与优化技术研究方面提供参考数据.
1. 有限元仿真与焊点寿命计算
1.1 仿真环境设置
建立BGA焊点三维仿真模型，焊点材料的热膨胀系数为2.3 × 10−5℃−1，热传导系数为27.5 W/(m·K)，比热容为880 J/(kg·℃)，在不同温度下材料的杨氏模量与泊松比随温度变化见表1.
表 1 焊点材料参数Table 1. Solder joint material parameters温度T/℃ 杨氏模量E/MPa 泊松比ν −55 47 970 0.352 −35 46 890 0.354 −15 45 790 0.357 5 44 380 0.360 20 43 250 0.363 50 41 330 0.365 75 39 450 0.370 100 36850 0.377 125 34590 0.380 在仿真试验中，热分析初始温度为22 ℃，分析步长为5 min，热对流系数为60 W/(m2·℃)，依据温度循环载荷标准JESD22-A104，在仿真中施加循环热载荷，温度循环为−40 ~ 125 ℃，循环周期为86 min，升降温速率为5 ℃/min，高/低温保温时间为10 min. 由于芯片、PCB板、焊点的材料不同，热膨胀系数不同，在设定的温度循环条件下，焊点出现了较大的应力，仿真结果如图1所示. 从图1中可以看出最大应力出现在边缘焊点上，因此，在后续焊点网格划分过程中，仅针对边缘焊点细化. 图2为焊点应力随温度循环载荷的周期性变化，温度的极大和极小值节点应力值达到最大，因此，文中选取第4个循环结束后最大应力作为可靠性评估标准之一. 图3为塑性应变随时间变化曲线，计算每个周期危险节点塑性应变范围的平均值∆ε，可用于后续寿命计算中的应变范围.
1.2 焊点寿命预测模型
常用的焊点寿命预测方法主要有4种，包括基于塑性变形或蠕变变形的预测模型，以能量为基础或以断裂参量为基础的预测模型[18]，文中采用基于塑性变形的Coffin-Manson方程(简称C-M 方程)来预测焊点寿命，即
$$ {N_{\text{f}}} = \frac{1}{2}{\left(\frac{{\Delta \gamma }}{{2{\varepsilon _{\text{f}}}}}\right)^{ - \frac{1}{C}}} $$ (1) $$ \Delta \gamma = \sqrt 3 \Delta \varepsilon $$ (2) $$ c = - 0.442 - 6 \times {10^{ - 4}}\overline {{T_{\text{s}}}} + 1.74 \times {10^{ - 2}}\ln (1 + f) $$ (3) 式中：Nf 为焊点失效前最大循环次数；∆γ 为剪切应变范围；εf 为疲劳韧性系数；c为疲劳韧性指数；f为循环频率(次/天);
$ \overline {{T_{\text{s}}}} $ 为热循环平均温度.2. 基于Co-Kriging模型的焊点可靠性预测
2.1 样本点选择
在1.1节中，从仿真结果可以看出边缘焊点属于容易失效的危险位置，因此，文中三维仿真模型网格细化方案均针对边缘焊点展开.图4为4种不同粒度的网格细化方案，其中细化方案一见图4(a)是对焊点模型全局细化，方案二见图4(b)是对焊点模型边缘进行细化，方案三见图4(c)对焊点模型上下表面进行细化，方案四见图4(d)是对焊点模型侧面进行细化.
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图 4 网格划分方案Figure 4. Grid division scheme. (a) global refinement; (b) edge refinement; (c) above and below refinement; (d) side refinement对以上4种不同粒度的网格细化方案进行网格收敛性测试，如图5所示，方案四与方案一测试结果为收敛，且方案四在简化网格细化的情况下与全局细化结果最相近，有效平衡了仿真成本与精度之间的矛盾.选择方案一与方案四分别作为高、低精度方案进行仿真，仿真结果分别作为高精度与低精度数据来构建变可信度近似模型.
在网格划分方式确定后，为比较样本嵌套和非嵌套对焊点可靠性近似模型构建效果的影响，采用优化拉丁超立法生成100组低精度样本点，再分别取50组嵌套样本点和50组非嵌套样本点作为高精度样本集，其中嵌套样本集通过交换算法生成.在焊点的温度循环条件下可靠性仿真过程中，相同的计算资源，高精度仿真耗时约50 min，低精度仿真耗时约20 min，记低精度样本点集为Xl，嵌套高精度样本点集为Xh，非嵌套高精度样本点集为
$X_{\mathrm{h}}^{\prime} $ ，即$$ X_1=\left\{x_i\right\}(i=1,2,3 \cdots, 100) $$ (4) $$ X_{\mathrm{h}}=\left\{x_j\right\}(j=1,2,3 \cdots, 50) $$ (5) $$ X_{\mathrm{h}}^{\prime}=\left\{x_k\right\}(k=1,2,3 \cdots,50) $$ (6) 样本点的空间分布如图6所示，图6(a)为非嵌套高/低精度样本集的空间分布，图6(b)为嵌套高/低精度样本集的空间分布，由于高精度样本为低精度样本的子集，所以高/低精度样本集产生了空间重合.
2.2 构建可靠性预测变可信度模型
构建过程主要包含数据准备、参数估计与训练、模型测试3个步骤.首先数据准备阶段，Co-Kriging是一种通过构建多组数据相关矩阵，对不同精度数据进行融合，从而构建变可信度近似模型的有效方法[19]，通过仿真数值求解，分别得到样本点
$X$ 对应的目标值，即应力${{y}}$ 与寿命${\textit{z}}$ ，分别构建用于应力预测与寿命预测的变可信度模型为$$ y=\left(\begin{array}{l}{y}_{\text{l}}\\ {y}_{\text{h}}\\ {y}_{\text{h}}^{\prime}\end{array}\right)$$ (7) $$ {\textit{z}}=\left(\begin{array}{l}{{\textit{z}}}_{\text{l}}\\ {{\textit{z}}}_{\text{h}}\\ {{\textit{z}}}_{\text{h}}^{\prime}\end{array}\right) $$ (8) 在参数估计与训练阶段，首先构建目标的概率密度函数，然后通过最大似然估计对模型参数进行估计，由于应力与寿命的预测模型构建流程是一致的，所以文中只列举应力
$y$ 的预测模型构建过程.低精度样本目标似然函数如
$$ \begin{split} L =& - \frac{n}{2}\ln ({\sigma _1}^2) - \frac{1}{2}\ln \left| {{\psi _{\text{l}}}({X_{\text{l}}},{X_{\text{l}}})} \right| -\\& \frac{{{{({y_{\text{l}}} - \vec 1{\mu _{\text{l}}})}^T}{\psi _{\text{l}}}{{({X_{\text{l}}},{X_{\text{l}}})}^{ - 1}}({y_{\text{l}}} - \vec 1{\mu _{\text{l}}})}}{{2{\sigma _{\text{l}}}^2}} \end{split} $$ (9) 定义高/低精度差异
$d$ 为$$ d = {y_{\text{h}}} - \rho {y_{\text{l}}}(x{}_{\text{h}}) $$ (10) 高精度样本目标似然函数为
$$ \begin{split} L =& - \frac{n}{2}\ln ({\sigma _{\text{d}}}^2) - \frac{1}{2}\ln \left| {{\psi _{\text{l}}}({X_{\text{l}}},{X_{\text{l}}})} \right| -\\& \frac{{{{(d - \vec 1{\mu _{\text{d}}})}^T}{\psi _{\text{d}}}{{({X_{\text{h}}},{X_{\text{h}}})}^{ - 1}}(d - \vec 1{\mu _{\text{d}}})}}{{2{\sigma _{\text{d}}}^2}} \end{split}$$ (11) 式中：ψl和ψd为相关函数；n为样本量；µl，µd，σl2，σd2分别为高/低精度目标的均值和方差；差异函数d中包含比例因子ρ，通过遗传算法最大化似然函数可以得到模型参数值，
$ {y_{\text{l}}}(x{}_{\text{h}}) $ 为低精度函数在高精度样本处取值.模型训练采用嵌套和非嵌套的100组低精度和50组高精度样本集(嵌套代号为A，非嵌套代号为B)分别构建变可信度近似模型，并同时与由100组高精度样本(代号为C)训练的高精度神经网络和高精度Kriging模型进行对比验证.
在训练模型参数后，最后进行模型测试，不同模型应力测试和寿命测试结果见表2，表中均方根误差 (root mean square error , RMSE)为13组测试集的均方误差，可以看出在节省约1/3的仿真时间下，应力和寿命两种模型的预测结果中，变可信度模型效果最好，且相较于非嵌套样本集，嵌套Co-Kriging模型的RMSE更低.
表 2 不同模型应力和寿命测试结果Table 2. Stress test results and life test results of different models编号 应力相对误差δ1 寿命相对误差δ2 嵌套
Co-Kriging非嵌套
Co-Kriging高精度
神经网络高精度
Kriging嵌套
Co-Kriging非嵌套
Co-Kriging高精度
神经网络高精度
Kriging1 −0.013 9 −0.017 1 −0.060 7 0.034 3 −0.157 9 −0.005 9 1.132 5 −0.221 4 2 −0.013 4 −0.011 9 0.016 7 0.047 9 −0.039 9 0.152 3 0.159 8 −0.540 5 3 −0.051 1 −0.063 0 0.065 1 0.027 8 0.391 5 0.319 2 −0.337 4 −0.357 3 4 0.001 6 −0.011 1 −0.008 9 −0.015 2 −0.020 4 −0.309 3 0.569 4 0.015 0 5 0.008 0 0.004 8 −0.068 0 0.012 5 0.044 2 0.074 1 0.330 8 0.433 8 6 0.009 7 0.015 1 −0.020 6 −0.008 4 −0.533 7 0.094 8 0.326 0 −0.115 6 7 0.022 4 0.029 0 −0.122 7 −0.043 0 −0.251 9 −0.485 7 1.893 1 2.449 3 8 0.011 0 0.052 6 −0.105 9 −0.070 4 −1.001 0 −1.500 5 0.478 9 2.268 6 9 −0.077 0 −0.036 0 −0.016 5 −0.099 1 0.069 0 −0.090 8 −0.233 1 0.948 6 10 −0.010 6 0.056 0 −0.028 1 −0.037 6 −0.441 4 −0.151 2 1.098 2 0.712 6 11 0.015 9 −0.003 9 −0.016 1 0.042 9 0.163 9 0.091 2 0.110 7 −0.569 4 12 −0.026 1 −0.026 6 −0.024 3 0.108 7 0.180 3 0.463 5 0.204 6 −0.560 9 13 0.020 1 −0.000 1 −0.004 3 0.018 7 −0.157 9 −0.144 2 −0.017 4 −0.385 8 RMSE 0.621 8 0.709 8 1.290 0 1.16 29.010 5 36.4 7 45.23 79.32 样本组成 A B C C A B C C 仿真时长 t/min 3 250 3 250 5 000 5 000 3 250 3 250 5 000 5 000 构建变可信度模型目的在于降低构建模型的成本，为了在案例中节约成本，逐次增加高精度样本点个数构建多个变可信度模型，作为对照组使用100个高精度样本点构建了单一精度模型(对照组数据位于表2中). 高精度样本点个数与应力预测效果见表3，可以发现在高精度样本点数量为25个时，基于Co-Kriging的变可信度近似模型，相比传统单一高精度近似模型1/4的高精度样本点数量( 参数代号c的样本组成)，其预测就基本趋于稳定，且精度高于神经网络的单一精度近似模型方法.
表 3 高精度样本点个数与应力预测效果Table 3. Number of high-precision sample points and stress prediction performance高精度样本点个数N 均方根误差δRMSE 20 1.1996 25 0.7638 30 0.7497 35 0.7220 40 0.6576 45 0.6344 50 0.6218 2.3 寻找最优解
文中采用遗传算法对所构建可靠性预测变可信度近似模型进行求解，将变可信度近似模型对寿命和应力的预测值，作为遗传算法求解过程中的每一代种群的适应值评价，遗传算法参数设置见表4.
表 4 遗传算法参数Table 4. Parameters of genetic algorithm初始种群
数量m最大迭代数
max精英数
n交叉
概率A函数收敛
残差δ扩展适应度
函数50 100 5 0.8 1 × 10−10 Rank 利用遗传算法分别对神经网络模型和变可信度模型进行变量寻优，变可信度近似模型寻优结果表明，在焊点直径ϕ为1.012 mm，焊点高度为0.417 mm，焊点间距为1.861 mm时的焊点应力最小，约为19.695 5 MPa；焊点直径ϕ为1.276 mm，焊点高度为1.633 mm，焊点间距为0.67 mm时寿命大大提高，可达到256个循环周期. 原训练数据中，焊点平均最小应力为22.415 MPa，平均寿命为87个循环周期.
图7与图8为焊点应力和焊点寿命寻找结果，适应度分别为在迭代过程中每一代找到的应力值与寿命值，最优适应度为每一代找到的最优值，平均适应度为所有个体的值的平均，停止条件为适应度平均变化小于1 × 10−6, 当图中的最优适应度和平均适应度相同时代表收敛.
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图 7 焊点应力寻优结果Figure 7. Optimization results of solder joint stress. (a) neural network model; (b) multi-fidelity model![]()
图 8 焊点寿命寻优结果Figure 8. Optimization results of solder joint life. (a) neural network model; (b) multi-fidelity model在对应力预测的模型中，神经网络在第85代开始收敛，而变可信度模型在第75代开始收敛，在对寿命预测的模型中，神经网络在第95代开始收敛，而变可信度模型在第60代开始收敛，变可信度模型比神经网络模型收敛快.
以上对焊点可靠性预测模型的测试效果和优化效果，均表明变可信度模型可以在节约成本的条件下实现比单一精度模型更好的效果.
3. 结论
(1)在建立焊点可靠性预测的变可信度近似模型时，通过网格细化区域划分高/低精度样本数据.结果表明，在确保数据可靠的同时，成本存在明显差异的情况下，网格细化区域是一种有效的高/低精度数据的划分方法，并通过收敛性测试验证了采用边缘焊点整体细化和焊点侧面细化为高效可行方案.
(2)在基于Co-Kriging变可信度模型的焊点可靠性预测中，高/低精度样本点嵌套要比非嵌套效果更好，采用了交叉算法生成嵌套样本点，由此建立的变可信度模型精度在较低的成本下，精度相较其他高精度模型效果更好，且与神经网络模型相比，在相同预测精度下，变可信度模型所需高精度样本点数量仅为单一精度神经网络模型的1/4.
(3)利用变可信度优化后的寿命相比于平均寿命提高了169个循环周期， 最大应力减小了约2.72 MPa， 为焊点结构设计提供了更高效的方法，且利用遗传算法进行寻优发现变可信度近似模型收敛更快.
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图 4 网格划分方案
Figure 4. Grid division scheme. (a) global refinement; (b) edge refinement; (c) above and below refinement; (d) side refinement
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图 7 焊点应力寻优结果
Figure 7. Optimization results of solder joint stress. (a) neural network model; (b) multi-fidelity model
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图 8 焊点寿命寻优结果
Figure 8. Optimization results of solder joint life. (a) neural network model; (b) multi-fidelity model
表 1 焊点材料参数
Table 1 Solder joint material parameters
温度T/℃ 杨氏模量E/MPa 泊松比ν −55 47 970 0.352 −35 46 890 0.354 −15 45 790 0.357 5 44 380 0.360 20 43 250 0.363 50 41 330 0.365 75 39 450 0.370 100 36850 0.377 125 34590 0.380 
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表 2 不同模型应力和寿命测试结果
Table 2 Stress test results and life test results of different models
编号 应力相对误差δ1 寿命相对误差δ2 嵌套
Co-Kriging非嵌套
Co-Kriging高精度
神经网络高精度
Kriging嵌套
Co-Kriging非嵌套
Co-Kriging高精度
神经网络高精度
Kriging1 −0.013 9 −0.017 1 −0.060 7 0.034 3 −0.157 9 −0.005 9 1.132 5 −0.221 4 2 −0.013 4 −0.011 9 0.016 7 0.047 9 −0.039 9 0.152 3 0.159 8 −0.540 5 3 −0.051 1 −0.063 0 0.065 1 0.027 8 0.391 5 0.319 2 −0.337 4 −0.357 3 4 0.001 6 −0.011 1 −0.008 9 −0.015 2 −0.020 4 −0.309 3 0.569 4 0.015 0 5 0.008 0 0.004 8 −0.068 0 0.012 5 0.044 2 0.074 1 0.330 8 0.433 8 6 0.009 7 0.015 1 −0.020 6 −0.008 4 −0.533 7 0.094 8 0.326 0 −0.115 6 7 0.022 4 0.029 0 −0.122 7 −0.043 0 −0.251 9 −0.485 7 1.893 1 2.449 3 8 0.011 0 0.052 6 −0.105 9 −0.070 4 −1.001 0 −1.500 5 0.478 9 2.268 6 9 −0.077 0 −0.036 0 −0.016 5 −0.099 1 0.069 0 −0.090 8 −0.233 1 0.948 6 10 −0.010 6 0.056 0 −0.028 1 −0.037 6 −0.441 4 −0.151 2 1.098 2 0.712 6 11 0.015 9 −0.003 9 −0.016 1 0.042 9 0.163 9 0.091 2 0.110 7 −0.569 4 12 −0.026 1 −0.026 6 −0.024 3 0.108 7 0.180 3 0.463 5 0.204 6 −0.560 9 13 0.020 1 −0.000 1 −0.004 3 0.018 7 −0.157 9 −0.144 2 −0.017 4 −0.385 8 RMSE 0.621 8 0.709 8 1.290 0 1.16 29.010 5 36.4 7 45.23 79.32 样本组成 A B C C A B C C 仿真时长 t/min 3 250 3 250 5 000 5 000 3 250 3 250 5 000 5 000
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表 3 高精度样本点个数与应力预测效果
Table 3 Number of high-precision sample points and stress prediction performance
高精度样本点个数N 均方根误差δRMSE 20 1.1996 25 0.7638 30 0.7497 35 0.7220 40 0.6576 45 0.6344 50 0.6218
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表 4 遗传算法参数
Table 4 Parameters of genetic algorithm
初始种群
数量m最大迭代数
max精英数
n交叉
概率A函数收敛
残差δ扩展适应度
函数50 100 5 0.8 1 × 10−10 Rank
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